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Below is quoted text from the Baidu link.

首先这是音译过来的
爸妈作为父母亲的称呼虽然我没多方考证过，不过我敢说并不是民国时候才学西方喊起来的。

我的根据是《广雅·释亲》里的记载：“爸者,父亲之转。”“妈,母也。”

而这部《广雅》是三国时魏张揖编撰的，说明起码在那之前就已经有了爸妈的叫法了。

当年，光绪是叫“亲爸爸”的。因为当时，外国的读法已经传到了中国。我学过德文，里面叫爸爸的就是“papa”，读作“帕帕”，中国人就把这样的叫法说成了“爸爸”。
满族人叫爸爸叫“阿玛”，叫妈妈叫“额娘”，如果是皇室成员，就在前面加一个“皇”字。
爹娘是中国传统叫法，在清朝以前，中国的科考制度以文言文为主。辛亥革命以后，洋学渐兴，留学归国的人把爸爸，妈妈这样的称惟带回国内。慢慢的就流行开了。